\subsection{Résolution de l'équatiion}

Si la majorité des réactions chimiques ont un comportement similaire, c'est à dire qu'elles tendent vers une situation d'équilibre dans laquelle on peut considérer la réaction achevée, certaines réactions sont oscillantes et n'atteignent jamais d'équilibre. En considérant la cinétique d'un système composé des entités $X,Y$ et $Z$, on peut établir le système d'équations suivant:\\

$$
\left\{
\begin{array}{r c l}
\frac{dX(t)}{dt} & = & a+bZ(t)-X(t)-X(t)Y(t)^{2}\\
\frac{dY(t)}{dt} & = & c(X(t)+X(t)Y(t)^{2}-Y(t))\\
\frac{dZ(t)}{dt} & = & d(Y(t)-Z(t))\\
\end{array}
\right.
$$

\begin{wrapfigure}[12]{r}{9cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{./chimie.png}
\caption{Résolution du système}
\end{wrapfigure}

~\\
\\

En résolvant ce système à l'aide des méthodes précédemment décrites et pour une valeur $b$ donnée, on peut visualiser le caractère oscillant du système présenté sur la Figure 13.\\

On distingue donc une première phase d'initialisation puis une seconde phase périodique. Nous nous intéresserons uniquement à cette phase périodique, qu'on peut extraire en ne considérant que les premières valeurs obtenues sur temps suffisamment grand.

\subsection{Comportement chaotique}

Pour mettre en évidence le caractère chaotique de ce système, nous distinguerons les systèmes suivant le nombre de maxima locaux atteint par la quantité $Y$ sur une période donnée. On appellera à présent ce nombre période. Pour différentes valeurs de $b$ on peut exhiber des solutions de différentes périodes.\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$b$ & Période\\ 
\hline
$0,10$ & $1$\\
\hline
$0,12$ & $2$\\
\hline
$0,1455$ & $4$\\
\hline
$0,155$ & $5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
~\\

\begin{wrapfigure}[12]{l}{8cm}
\centering
\includegraphics[scale=0.355]{./bifurcation.png}
\caption{Diagramme de bifuraction}
\end{wrapfigure}

Ainsi, si on trace ces différents maxima en fonction du paramètre $b$, on obtient le diagramme de bifurcation du système d'équations différentielles.\\

On distingue sur ce diagramme trois comportements distincts. En effet, la solution du système présente, pour des valeurs de $b$ assez faibles, une seule période. Si on va dans le sens croissant de $b$, elle présente deux puis quatre périodes pour atteindre une zone où le nombre de périodes est difficile à déterminer compte tenu de l'échelle de temps considérée. Finalement, le diagramme revient à son état d'origine pour des valeurs de $Y$ moindre.\\
\\
\\

Même si nous n'avons pas réussi à exhiber des solutions de période trois, le système n'en demeure pas moins chaotique. En effet le diagramme de bifurcation illustre la sensibilité aux conditions initiales du système. Cette sensibilité rend la modélisation de systèmes chaotiques très difficile et c'est sans doute cette raison qui ne nous a pas permis de trouver tous les types de solution.
